《双曲线及其标准方程》课堂实录

一、课程导入（约5分钟）

教师活动

1、回顾旧知

- 师：同学们，上节课我们学习了椭圆的定义和标准方程，请大家回忆一下椭圆的定义是什么？

- 生：平面内与两个定点 \(F_1\) 、\(F_2\) 的距离之和等于常数（大于 \(|F_1F_2|\)）的点的轨迹叫做椭圆。

- 师：很好！椭圆的标准方程又是什么呢？请一位同学来回答。

- 生：\(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 (a > b > 0)\) 或者 \(\frac{y^2}{a^2} + \frac{x^2}{b^2} = 1 (a > b > 0)\)。

2、引入新课

- 师：大家思考一下，如果把椭圆定义中的“距离之和”改为“距离之差”，会得到什么曲线呢？这就是我们今天要学习的双曲线。（板书课题：双曲线及其标准方程）

二、知识讲解（约30分钟）

双曲线的定义（约10分钟）

教师引导

- 师：我们通过类比椭圆的定义来探究双曲线的定义，在平面内，如果一个动点 \(M\) 到两个定点 \(F_1\) 、\(F_2\) 的距离之差的绝对值等于常数（小于 \(|F_1F_2|\)），且不等于零，那么这个动点 \(M\) 的轨迹就叫做双曲线，大家能理解这个定义吗？

- 生：大概能理解，就是距离之差是固定的。

- 师：那这里的两个定点 \(F_1\) 、\(F_2\) 我们称它们为双曲线的焦点，用 \(c\) 表示它们之间的距离的一半，也就是 \(c = |F_1F_2|/2\)，而这个常数我们通常用 \(2a\) 来表示，且 \(0 < a < c\)，现在大家再思考一下，为什么强调这个常数必须小于 \(|F_1F_2|\) 呢？

- 生：如果等于或大于 \(|F_1F_2|\)，那就不符合动点轨迹的要求了，因为距离之差不可能超过两焦点间的距离。

- 师：非常正确！所以双曲线的定义中这个条件很重要，接下来我们通过具体的例子来进一步理解双曲线的定义。

推导双曲线的标准方程（约20分钟）

建立坐标系

- 师：为了更好地研究双曲线的性质和方程，我们需要建立一个适当的坐标系，我们以过两个焦点 \(F_1\) 、\(F_2\) 的直线为 \(x\) 轴，线段 \(F_1F_2\) 的垂直平分线为 \(y\) 轴，建立平面直角坐标系，设 \(M(x, y)\) 是双曲线上的任意一点。

根据定义列式

- 师：根据双曲线的定义，我们有 \(|MF_1| - |MF_2| = ±2a\)，那么如何用坐标来表示这个关系呢？

- 生：可以用两点间距离公式，\(|MF_1|=\sqrt{(x + c)^2 + y^2}\)，\(|MF_2|=\sqrt{(x - c)^2 + y^2}\)。

- 师：非常好！将这两个距离代入定义式中，我们得到 \(\sqrt{(x + c)^2 + y^2} - \sqrt{(x - c)^2 + y^2} = ±2a\)，接下来我们要对这个等式进行化简，得到双曲线的标准方程，大家可以先自己尝试化简一下。

（学生们开始动手化简）

化简过程

- 师：（巡视后，请一名学生上台写出关键步骤）请你来说说你是怎么化简的。

- 生：首先移项，将一个平方根移到等式的另一边，然后两边平方，消去平方根，再整理合并同类项，最后再两边平方一次，就得到了 \(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\)，\(b^2 = c^2 - a^2\)，且 \(a > 0，b > 0\)。

- 师：非常棒！这位同学的化简过程很清晰准确，这个就是我们要求的双曲线的标准方程，它表示焦点在 \(x\) 轴上的双曲线，如果是焦点在 \(y\) 轴上的双曲线，其标准方程会是怎样的呢？

- 生：\(\frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1 (a > 0, b > 0)\)。

- 师：对的！大家要把这两种形式都记住。

例题讲解（约15分钟）

例题展示

- 师：现在我们来看一道例题，已知双曲线的两个焦点分别为 \(F_1(-5, 0)\) 和 \(F_2(5, 0)\)，且双曲线上的任意一点 \(P\) 到两个焦点的距离之差的绝对值为 \(8\)，求这个双曲线的标准方程。

- 师：我们先分析一下题目给了我们哪些信息？（引导学生分析已知条件）

- 生：已知焦点坐标，可以求出 \(c = 5\)；还知道 \(|PF_1| - |PF_2| = ±8\)，也就是 \(2a = 8\)，\(a = 4\)。

- 师：很好！那接下来怎么做呢？

- 生：利用 \(b^2 = c^2 - a^2\) 来求 \(b^2\)，然后就可以写出双曲线的标准方程了。

- 师：请你完整地写出解题过程吧。

（请学生板演解题过程）

规范解答

- 解：由题意可知，\(c = 5\)，\(2a = 8\)，则 \(a = 4\)。

- 因为 \(b^2 = c^2 - a^2 = 5^2 - 4^2 = 9\)，

- 所以双曲线的标准方程为 \(\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1\)。

- 师：大家看他写的解答过程是否正确？有没有需要补充的地方？

- 生：（提出一些小问题，如步骤书写的规范性等）

- 师：这位同学整体思路很清晰，但在书写步骤时要注意规范性，比如每一步的推导要详细写出来，避免跳步，现在大家对这道题应该都掌握了吧？

三、课堂小结（约10分钟）

教师总结

- 师：今天我们学习了双曲线的定义和标准方程，双曲线是在平面内与两个定点 \(F_1\) 、\(F_2\) 的距离之差的绝对值等于常数（小于 \(|F_1F_2|\)）的点的轨迹，它的标准方程有两种形式，分别是 \(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 (a > 0, b > 0)\)（焦点在 \(x\) 轴上）和 \(\frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1 (a > 0, b > 0)\)（焦点在 \(y\) 轴上），我们还学习了如何通过给定的条件推导出双曲线的标准方程，大家在课后要多做一些相关的练习题，巩固所学的知识。

提问反馈

- 师：同学们，对于今天的课程内容还有什么疑问吗？

- 生：（提出一些疑问和想法，如对定义的理解、标准方程的应用等，教师进行解答和指导）

四、布置作业（约5分钟）

- 课本第XX页第X、X、X题，要求：认真完成，书写工整，注意解题规范，明天上课前交。

- 师：好，今天的课就到这里，下课！